Permutaciones
Una permutación cuenta el número de formas de ordenar \(r\) elementos de un conjunto de \(n\) cuando el orden de selección importa. Cualquier cambio de orden produce una permutación diferente.
Permutaciones sin repetición
El número de formas de ordenar \(r\) elementos elegidos de \(n\) elementos distintos, sin reutilizar ninguno, es:
\[P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)\]
El razonamiento: \(n\) opciones para la posición 1, \(n-1\) para la posición 2, hasta \(n-r+1\) para la posición \(r\). El caso especial de ordenar todos los \(n\) elementos es \(P(n,n) = n!\).
Una carrera de velocidad tiene 8 competidores. ¿Cuántos resultados de podio distintos (oro, plata, bronce) son posibles?
\[P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336\]
El orden importa: que Usain gane el oro y Yohan la plata es un resultado distinto al de Yohan ganando el oro y Usain la plata.
Una empresa entrevista a 12 candidatos para 3 puestos distintos: Director, Gerente y Analista.
\[P(12, 3) = 12 \times 11 \times 10 = 1{.}320\]
Si los puestos fueran idénticos (simplemente “contratar a 3 de 12”), la respuesta sería \(\binom{12}{3} = 220\). Los roles distintos multiplican el recuento por \(3! = 6\).
Permutaciones con repetición
Cuando los elementos pueden reutilizarse, cada posición se rellena de forma independiente con cualquiera de los \(n\) elementos:
\[P_{\text{rep}}(n, r) = n^r\]
Un PIN de 4 dígitos usa los dígitos del 0 al 9 con repetición permitida:
\[10^4 = 10{.}000 \text{ PINs posibles}\]
Una contraseña de 8 caracteres con 62 posibles (26 minúsculas, 26 mayúsculas, 10 dígitos):
\[62^8 \approx 2{,}18 \times 10^{14}\]
Cada carácter adicional multiplica el espacio de búsqueda por 62. Por eso la longitud importa mucho más que las reglas de complejidad.
Una instalación segura usa un código de 6 caracteres con 26 letras mayúsculas, sin repetición:
\[P(26, 6) = 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 = 165{.}765{.}600\]
Con repetición: \(26^6 = 308{.}915{.}776\). La restricción de no repetición reduce el espacio en aproximadamente un 46%.
Permutaciones con elementos repetidos
Cuando algunos elementos son idénticos, muchas ordenaciones son indistinguibles. Si \(n\) elementos contienen grupos de \(n_1, n_2, \ldots, n_k\) elementos idénticos:
\[P = \frac{n!}{n_1!\, n_2!\, \cdots\, n_k!}\]
¿Cuántas ordenaciones distintas tienen las letras de STATISTICS?
S aparece 3 veces, T aparece 3 veces, I aparece 2 veces, A y C una vez cada una. Total: 10 letras.
\[P = \frac{10!}{3!\, 3!\, 2!\, 1!\, 1!} = \frac{3{.}628{.}800}{72} = 50{.}400\]
Sin tener en cuenta las repeticiones, se cometería el error de usar \(10! = 3{.}628{.}800\): 72 veces demasiado grande.
Más ejemplos
Planificación de tareas con restricciones
Un jefe de proyecto debe planificar 6 tareas de forma secuencial, pero las pruebas y el despliegue siempre deben ser las últimas en ese orden específico. ¿Cuántas planificaciones válidas existen?
Las 2 últimas posiciones están fijas. Las 4 tareas restantes rellenan libremente las 4 primeras posiciones:
\[P(4, 4) = 4! = 24\]
Orden de llegada en una carrera
En una carrera de 10 coches, ¿de cuántas formas se pueden ocupar las 4 primeras posiciones?
\[P(10, 4) = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5{.}040\]
La probabilidad de que un conjunto específico de 4 coches llegue en un orden específico:
\[\frac{1}{5{.}040} \approx 0{,}000198\]
⚠️ Las permutaciones asumen elementos distintos y posiciones ordenadas
La fórmula \(P(n,r) = n!/(n-r)!\) requiere que todos los \(n\) elementos sean distintos, que cada posición sea distinguible y que no se reutilice ningún elemento. Si hay elementos repetidos, usa la fórmula multinomial. Si las posiciones no son distinguibles, usa combinaciones.
💡 Permutaciones vs combinaciones: la prueba rápida
Pregúntate: ¿intercambiar dos elementos seleccionados da un resultado diferente?
- Posiciones del podio: sí. Usa permutaciones.
- Miembros de un comité: no. Usa combinaciones.
- Caracteres de una contraseña: sí, “abc” y “bca” son diferentes. Usa permutaciones con repetición.
- Números de lotería: no, el conjunto ganador es el mismo independientemente del orden de extracción. Usa combinaciones.
La relación entre ambas: \(P(n,r) = \binom{n}{r} \times r!\). Cada combinación genera \(r!\) permutaciones.
