Eventos complementarios
El complementario de un evento \(A\) es el evento de que \(A\) no ocurra. Tiene siempre probabilidad \(1 - P(A)\), y con frecuencia es la forma más sencilla de resolver problemas con escenarios de “al menos uno” o “al menos una vez”.
Definición
Sea \(A\) un evento sobre un espacio muestral \(\Omega\). El complementario de \(A\), escrito \(A^c\) o \(\bar{A}\), es el evento que contiene todos los resultados de \(\Omega\) que no están en \(A\):
\[A^c = \{\omega \in \Omega : \omega \notin A\}\]
Su probabilidad se obtiene directamente del hecho de que \(A\) y \(A^c\) particionan el espacio muestral:
\[P(A^c) = 1 - P(A)\]
Tres propiedades se cumplen siempre:
- \(A \cup A^c = \Omega\) (exhaustivos: necesariamente ocurre uno de los dos).
- \(A \cap A^c = \emptyset\) (mutuamente excluyentes: no pueden ocurrir los dos).
- \(P(A) + P(A^c) = 1\).
El truco del complementario
El complementario es más útil cuando calcular \(P(A)\) directamente requiere sumar muchos casos, pero \(P(A^c)\) se reduce a un único cálculo. El patrón estándar es:
\[P(A) = 1 - P(A^c)\]
Esto funciona siempre que \(A\) implique “al menos uno”, “al menos una vez” o “más de cero” ocurrencias, porque el complementario es “ninguno” o “cero”, que suele ser un único término.
Un envío contiene 50 artículos, 8 de los cuales son defectuosos. Se muestrean 5 artículos sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea defectuoso?
El cálculo directo requiere sumar \(P(X=1) + P(X=2) + \cdots + P(X=5)\), cinco términos hipergeométricos.
Usando el complementario: \(A^c\) = ningún defectuoso en la muestra.
\[P(A^c) = \frac{\binom{42}{5}}{\binom{50}{5}} = \frac{850668}{2118760} \approx 0{,}401\]
\[P(\text{al menos un defectuoso}) = 1 - 0{,}401 = 0{,}599\]
Un cálculo en lugar de cinco.
Un servidor tiene una probabilidad de fallo diario del 0,5%, independiente entre días. ¿Cuál es la probabilidad de al menos un fallo en 30 días?
Directo: suma 30 términos binomiales. Usando el complementario:
\[P(\text{ningún fallo en 30 días}) = (1 - 0{,}005)^{30} = 0{,}995^{30} \approx 0{,}860\]
\[P(\text{al menos un fallo}) = 1 - 0{,}860 = 0{,}140\]
Aproximadamente un 14% de probabilidad de al menos una interrupción en un mes.
Más ejemplos
Control de calidad: aceptación de lotes
Un estándar de calidad exige rechazar un lote si contiene algún artículo fuera de tolerancia. Una máquina produce artículos fuera de tolerancia con probabilidad 0,03, de forma independiente. Se prueba un lote de 20 artículos.
\(P(\text{lote rechazado}) = P(\text{al menos uno fuera de tolerancia})\)
\[= 1 - P(\text{todos dentro de tolerancia}) = 1 - (0{,}97)^{20} \approx 1 - 0{,}544 = 0{,}456\]
Aproximadamente el 46% de los lotes se rechaza. Si la tasa de defectos mejora al 1%:
\[1 - (0{,}99)^{20} \approx 1 - 0{,}818 = 0{,}182\]
La tasa de rechazo cae al 18%. Pequeñas mejoras en la tasa de defectos tienen un efecto considerable en la aceptación de lotes.
Seguridad de contraseñas: ataque por fuerza bruta
Un sistema bloquea una cuenta tras 5 intentos fallidos de inicio de sesión. Un atacante prueba contraseñas al azar. Cada intento tiene éxito con probabilidad \(p = 0{,}001\).
\(P(\text{cuenta no comprometida en 5 intentos}) = P(\text{los 5 fallan})\)
\[= (1 - 0{,}001)^5 = 0{,}999^5 \approx 0{,}995\]
\[P(\text{comprometida}) = 1 - 0{,}995 = 0{,}005\]
Solo un 0,5% de probabilidad por sesión de ataque. Pero si se atacan 10.000 cuentas:
\[P(\text{al menos una comprometida}) = 1 - 0{,}995^{10000} \approx 1 - e^{-50} \approx 1\]
A gran escala, las brechas son prácticamente inevitables. Por eso la limitación de intentos por sí sola no es suficiente.
Ensayo clínico: al menos un evento adverso
En un ensayo con 200 pacientes, cada uno tiene un 2% de probabilidad de sufrir un evento adverso, de forma independiente.
\[P(\text{al menos un evento adverso}) = 1 - (0{,}98)^{200} \approx 1 - 0{,}0176 = 0{,}982\]
Hay un 98% de probabilidad de que al menos un paciente del ensayo experimente un evento adverso, aunque el riesgo individual sea bajo. Por eso los efectos secundarios poco frecuentes se espera que aparezcan en ensayos de cualquier tamaño razonable.
💡 Cuándo usar el complementario
Usa el complementario cuando:
- El evento implica “al menos uno”, “al menos una vez” o “uno o más”: el complementario es “ninguno”, un único término.
- El cálculo directo requiere sumar muchos casos pero el complementario se reduce a una sola multiplicación.
- Quieres acotar una probabilidad: \(P(A) = 1 - P(A^c)\) es útil incluso cuando \(P(A^c)\) solo se conoce de forma aproximada.
La regla del complementario es una de las herramientas más consistentemente útiles en probabilidad aplicada: cuando un problema parece complicado, pregúntate primero si el complementario es más sencillo.
