V de Cramér

El test chi-cuadrado de Pearson indica si una asociación entre dos variables categóricas es estadísticamente significativa. La V de Cramér indica cuán fuerte es esa asociación. Necesitas ambas.

Definición

La V de Cramér es una medida de la fuerza de asociación entre dos variables categóricas. Se deriva del estadístico chi-cuadrado y se normaliza para que siempre esté entre 0 y 1, independientemente del tamaño de la tabla de contingencia:

• \(V = 0\): no hay asociación entre las variables.
• \(V = 1\): asociación perfecta (conocer una variable determina completamente la otra).

El denominador \(\min(r, c) - 1\) escala el estadístico de forma adecuada para tablas de distintos tamaños, por eso la V de Cramér es preferible a medidas más simples cuando la tabla tiene más de dos categorías en alguna de sus dimensiones.

Interpretación

Cohen (1988) propuso criterios para interpretar la V de Cramér que dependen de los grados de libertad \(df = \min(r,c) - 1\):

Estos umbrales importan porque un \(V = 0{,}25\) en una tabla 2×2 es un efecto mediano-grande, mientras que el mismo valor en una tabla 5×5 es un efecto grande. Usar un único umbral universal para todos los tamaños de tabla es incorrecto.

Figure 1: V de Cramér para tablas de contingencia simuladas: desde asociación casi nula (azul) hasta asociación fuerte (rojo)

Ejemplo paso a paso

Usando los datos de tabaco y cáncer de pulmón del post sobre chi-cuadrado:

Del cálculo anterior, \(\chi^2 = 50{,}50\), \(n = 200\), \(r = 2\), \(c = 2\).

\[V = \sqrt{\frac{50{,}50}{200 \cdot (\min(2,2) - 1)}} = \sqrt{\frac{50{,}50}{200 \cdot 1}} = \sqrt{0{,}2525} \approx 0{,}502\]

Para una tabla 2×2 (\(df = 1\)), los criterios de Cohen son: pequeño = 0,10, mediano = 0,30, grande = 0,50. Un valor de \(V \approx 0{,}50\) indica una asociación grande entre el hábito tabáquico y el cáncer de pulmón en esta muestra.

Ejemplo 2: nivel educativo y preferencia de voto

Una encuesta a 300 votantes recoge el nivel educativo (3 categorías) y el partido político preferido (4 categorías). Tras construir la tabla de contingencia, el estadístico chi-cuadrado es \(\chi^2 = 24{,}7\).

\[V = \sqrt{\frac{24{,}7}{300 \cdot (\min(3,4) - 1)}} = \sqrt{\frac{24{,}7}{300 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{24{,}7}{600}} \approx 0{,}203\]

Para una tabla 3×4 (\(df = \min(3,4) - 1 = 2\)), los criterios de Cohen son: pequeño = 0,07, mediano = 0,21, grande = 0,35. Un valor de \(V \approx 0{,}20\) está próximo al efecto mediano, lo que sugiere una asociación moderada entre el nivel educativo y la preferencia de voto.

Coeficiente phi vs V de Cramér

El coeficiente phi (\(\phi\)) es el caso especial de la V de Cramér para tablas 2×2:

\[\phi = \sqrt{\frac{\chi^2}{n}}\]

Para tablas 2×2, \(\min(r,c) - 1 = 1\), por lo que \(\phi = V\). Para tablas mayores de 2×2, phi ya no está acotada por 1 y pierde su interpretabilidad. La V de Cramér generaliza correctamente el coeficiente phi a cualquier tamaño de tabla.