Distribución de Pareto

La distribución de Pareto modela fenómenos donde una pequeña fracción de las observaciones explica la mayor parte del efecto total. Es el fundamento matemático de la regla 80/20 y describe la riqueza, el tamaño de las ciudades, las magnitudes de los terremotos y el tráfico de internet, es decir, todos los contextos donde los eventos extremos son mucho más frecuentes de lo que predice la distribución normal.

Definición

Una variable aleatoria \(X\) sigue una distribución de Pareto con parámetro de escala \(x_m > 0\) (valor mínimo posible) y parámetro de forma \(\alpha > 0\) (índice de cola), escrita \(X \sim \text{Pareto}(x_m, \alpha)\), si:

La CDF tiene una forma cerrada sencilla:

La función de supervivencia \(P(X > x) = (x_m/x)^\alpha\) decrece siguiendo una ley potencial: dividir \(\alpha\) por dos eleva al cuadrado la probabilidad de superar cualquier umbral. Esto es lo que hace a la distribución de Pareto de “cola pesada”: la cola decrece mucho más lentamente que la exponencial \(e^{-\lambda x}\).

Propiedades

Para \(X \sim \text{Pareto}(x_m, \alpha)\):

1. Valor esperado (media)

\[E(X) = \frac{\alpha\, x_m}{\alpha - 1}, \quad \text{solo definida para } \alpha > 1\]

Para \(\alpha \leq 1\), la media es infinita.

2. Varianza

\[\text{Var}(X) = \frac{\alpha\, x_m^2}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}, \quad \text{solo definida para } \alpha > 2\]

Para \(1 < \alpha \leq 2\), la media existe pero la varianza es infinita.

3. Asimetría

\[\text{Asimetría} = \frac{2(1+\alpha)}{\alpha - 3}\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha}}, \quad \text{para } \alpha > 3\]

No definida para \(\alpha \leq 3\). Siempre positiva (asimetría a la derecha).

4. Curtosis

\[g_2 = \frac{6(\alpha^3 + \alpha^2 - 6\alpha - 2)}{\alpha(\alpha-3)(\alpha-4)}, \quad \text{para } \alpha > 4\]

5. Mediana

\[\text{Mediana} = x_m \cdot 2^{1/\alpha}\]

6. Moda

\[\text{Moda} = x_m\]

La distribución es siempre decreciente: el valor más probable es el mínimo \(x_m\).

7. Función cuantil

\[Q(p) = \frac{x_m}{(1-p)^{1/\alpha}}\]

La regla 80/20

El principio de Pareto establece que aproximadamente el 80% de los efectos proviene del 20% de las causas. No es una ley de la naturaleza, sino una consecuencia de la distribución de Pareto cuando \(\alpha = \log(5)/\log(4) \approx 1{,}161\).

En general, la fracción de la población \(p\) que representa la fracción \(F\) del total (para una cantidad distribuida según Pareto con \(\alpha > 1\)) es:

\[F = 1 - \left(\frac{x_m}{Q(1-p)}\right)^{\alpha-1} = 1 - (1-p)^{(\alpha-1)/\alpha}\]

La regla 80/20 en números

Para \(\alpha = 1{,}161\) (el exponente de Pareto exacto de la regla 80/20):

• El 20% más rico posee el 80% de los ingresos totales.
• El 4% más rico posee el 64% (\(0{,}2^2 = 0{,}04\), \(0{,}8^2 = 0{,}64\)).
• El 1% más rico posee aproximadamente el 55% de los ingresos totales.

Estas cifras no son coincidencias: se derivan directamente de la estructura de ley potencial de la distribución de Pareto.

Ejemplo paso a paso

Las reclamaciones de seguros por encima de un umbral mínimo de 10.000 USD siguen una distribución de Pareto con \(x_m = 10{.}000\) y \(\alpha = 2{,}5\).

Importe esperado de la reclamación:

\[E(X) = \frac{2{,}5 \times 10{.}000}{2{,}5 - 1} = \frac{25{.}000}{1{,}5} \approx 16{.}667 \text{ USD}\]

Probabilidad de que una reclamación supere los 50.000 USD:

\[P(X > 50{.}000) = \left(\frac{10{.}000}{50{.}000}\right)^{2{,}5} = (0{,}2)^{2{,}5} \approx 0{,}0179\]

Aproximadamente el 1,8% de las reclamaciones superan los 50.000 USD.

Percentil 90 (reclamaciones que solo supera el 10% de las pólizas):

\[Q(0{,}90) = \frac{10{.}000}{(1-0{,}90)^{1/2{,}5}} = \frac{10{.}000}{0{,}1^{0{,}4}} \approx \frac{10{.}000}{0{,}251} \approx 39{.}800 \text{ USD}\]

Varianza:

\[\text{Var}(X) = \frac{2{,}5 \times 10{.}000^2}{(1{,}5)^2 \times (0{,}5)} = \frac{250{.}000{.}000}{1{,}125} \approx 222{.}222{.}222 \text{ USD}^2\]

Desviación típica \(\approx 14{.}907\) USD, casi tan grande como la media.