Función de densidad de probabilidad conjunta
La función de densidad de probabilidad conjunta (PDF conjunta) de dos variables aleatorias continuas describe cómo se distribuye la probabilidad sobre todos los pares de valores posibles. Al igual que la PDF univariante, no da probabilidades directamente: las probabilidades se obtienen integrando sobre una región del plano.
Definición
Una función \(f_{X,Y}(x,y)\) es la PDF conjunta de dos variables aleatorias continuas \(X\) e \(Y\) si:
\[ P(a \leq X \leq b,\ c \leq Y \leq d) = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f_{X,Y}(x,y)\, dy\, dx \]
Para ser una PDF conjunta válida, \(f_{X,Y}\) debe cumplir:
- \(f_{X,Y}(x,y) \geq 0\) para todo \((x,y)\).
- \(\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)\, dy\, dx = 1\).
La probabilidad de cualquier región \(A\) del plano es el volumen bajo la superficie \(f_{X,Y}\) sobre \(A\).
Figure 1: PDF conjunta de una normal bivariante con correlación 0,8: las elipses de nivel muestran regiones de igual densidad
Las elipses más interiores corresponden a las regiones de mayor densidad. La orientación diagonal refleja la correlación positiva entre \(X\) e \(Y\): cuando \(X\) es grande, \(Y\) tiende a serlo también.
Relación con la función de distribución conjunta
La PDF conjunta y la CDF conjunta \(F_{X,Y}(x,y)\) se relacionan por:
\[F_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f_{X,Y}(x', y')\, dy'\, dx'\]
La PDF conjunta se obtiene diferenciando la CDF conjunta:
\[f_{X,Y}(x,y) = \frac{\partial^2 F_{X,Y}(x,y)}{\partial x\, \partial y}\]
Densidades marginales
La densidad marginal de cada variable se obtiene integrando la PDF conjunta respecto a la otra variable:
\[f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)\, dy \qquad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)\, dx\]
Las densidades marginales describen el comportamiento de cada variable por separado, sin tener en cuenta la otra.
Si ((X, Y)) sigue una distribución normal bivariante con medias (\mu_X), (\mu_Y), varianzas (\sigma_X^2), (\sigma_Y^2) y correlación (\rho), las densidades marginales son:
\[f_X(x) = \frac{1}{\sigma_X\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2}}, \qquad f_Y(y) = \frac{1}{\sigma_Y\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}}\]
Cada variable por separado sigue una distribución normal, independientemente del valor de \(\rho\). Esta es una propiedad especial de la distribución normal bivariante.
Independencia
\(X\) e \(Y\) son independientes si y solo si su PDF conjunta se factoriza:
\[f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)\]
En este caso, el comportamiento de una variable no aporta ninguna información sobre la otra.
⚠️ Correlación cero no implica independencia en general
Para la distribución normal bivariante, (\rho = 0) sí implica independencia. Pero esto es una excepción, no la regla. Para la mayoría de distribuciones conjuntas, covarianza cero no implica independencia: la dependencia puede ser no lineal y la covarianza no la captura. Verifica siempre la factorización de la PDF conjunta, no solo la correlación.
Densidad condicionada
La densidad condicionada de \(Y\) dado \(X = x\) es:
\[f_{Y|X}(y \mid x) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}\]
Describe la distribución de \(Y\) cuando se fija el valor de \(X\). Para la normal bivariante, la distribución condicionada de \(Y\) dado \(X = x\) es también normal:
\[Y \mid X = x \sim \mathcal{N}\!\left(\mu_Y + \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(x - \mu_X),\ \sigma_Y^2(1-\rho^2)\right)\]
La media condicionada es lineal en \(x\) y la varianza condicionada es menor que la marginal cuando \(|\rho| > 0\).
💡 PDF conjunta vs PDF marginal: qué usar en cada caso
