Variaciones
Las variaciones cuentan el número de selecciones ordenadas de \(r\) elementos de un conjunto de \(n\), donde el orden importa y los elementos pueden o no reutilizarse. Son el marco general que conecta las permutaciones, las combinaciones y sus variantes con repetición.
Definición y relación con otros conceptos
Una variación de \(r\) elementos de un conjunto de \(n\) es una selección ordenada de \(r\) posiciones distintas tomadas de \(n\) elementos disponibles. La distinción clave respecto a otros métodos de recuento:
| Método | El orden importa | Repetición | Fórmula |
|---|---|---|---|
| Combinaciones | No | No | \(\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) |
| Variaciones sin repetición | Sí | No | \(V(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}\) |
| Variaciones con repetición | Sí | Sí | \(VR(n,r) = n^r\) |
| Permutaciones | Sí | No | \(P(n) = n!\) (caso especial: \(r=n\)) |
Las permutaciones son simplemente el caso especial de las variaciones sin repetición cuando se seleccionan todos los \(n\) elementos (\(r = n\)).
El gráfico muestra la jerarquía con claridad: las combinaciones dan el recuento menor (el orden se ignora), las variaciones sin repetición son mayores (el orden cuenta) y las variaciones con repetición son las mayores (el orden cuenta y se permite reutilizar).
Variaciones sin repetición
Cuando cada elemento solo puede usarse una vez, el número de selecciones ordenadas de \(r\) tomados de \(n\) es:
\[V(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)\]
Esta fórmula es idéntica a la de las permutaciones \(P(n,r)\). La diferencia es conceptual: “variaciones” enfatiza que se selecciona un subconjunto y se ordena, mientras que “permutaciones” se reserva a veces para la ordenación completa de todos los elementos.
Compiten 12 nadadores. ¿Cuántos podios distintos (oro, plata, bronce) son posibles?
\[V(12, 3) = \frac{12!}{9!} = 12 \times 11 \times 10 = 1{.}320\]
Los mismos 3 nadadores en el podio en distinto orden cuentan como resultados diferentes: {Ana 1.ª, Beth 2.ª, Cara 3.ª} es distinto de {Beth 1.ª, Ana 2.ª, Cara 3.ª}.
Un clúster tiene 10 servidores y 4 tareas deben asignarse a servidores distintos, cada tarea a un servidor específico (el orden de asignación importa para la configuración del balanceo de carga).
\[V(10, 4) = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5{.}040\]
Si las tareas fuesen intercambiables (cualquier servidor gestiona cualquier tarea por igual), usaríamos \(\binom{10}{4} = 210\) en su lugar.
Variaciones con repetición
Cuando los elementos pueden reutilizarse en distintas posiciones, el recuento crece como una potencia:
\[VR(n, r) = n^r\]
Cada una de las \(r\) posiciones se rellena de forma independiente con cualquiera de los \(n\) elementos, dando \(n\) opciones por posición.
Un PIN de 4 dígitos con los dígitos del 0 al 9, con repetición permitida:
\[VR(10, 4) = 10^4 = 10{.}000\]
Un código de 6 caracteres con 26 letras mayúsculas, con repetición permitida:
\[VR(26, 6) = 26^6 = 308{.}915{.}776\]
Sin repetición: \(V(26, 6) = 165{.}765{.}600\). La restricción de no repetición reduce el espacio en un 46%.
El ADN usa un alfabeto de 4 bases (A, T, C, G). ¿Cuántas secuencias distintas de longitud 10 son posibles?
\[VR(4, 10) = 4^{10} = 1{.}048{.}576 \approx 10^6\]
Para el genoma humano intervienen secuencias de longitud 3.000 millones: \(4^{3 \times 10^9}\), un número astronómicamente grande que explica la unicidad de los genomas individuales.
Cómo elegir la fórmula correcta
Tres preguntas determinan qué fórmula aplicar:
- ¿Importa el orden? Si no: combinaciones. Si sí: continúa.
- ¿Pueden reutilizarse los elementos? Si no: \(V(n,r) = n!/(n-r)!\). Si sí: \(VR(n,r) = n^r\).
- ¿Se seleccionan todos los elementos? Si sí y sin repetición: \(P(n) = n!\) (permutaciones).
Una empresa tiene 10 empleados y necesita:
- Formar un equipo de proyecto de 4 personas (sin roles, sin repetición): \(\binom{10}{4} = 210\) combinaciones.
- Asignar 4 roles distintos (director general, director técnico, director financiero, director de operaciones) entre los 10 (los roles difieren, sin repetición): \(V(10,4) = 5{.}040\) variaciones sin repetición.
- Generar un código de acceso de 4 dígitos con 10 dígitos (repetición permitida, el orden importa): \(VR(10,4) = 10{.}000\) variaciones con repetición.
- Ordenar los 10 empleados para una presentación: \(P(10) = 10! = 3{.}628{.}800\) permutaciones.
💡 Las variaciones como marco unificador
Las variaciones ofrecen el marco de recuento más general para selecciones ordenadas:
- Combinaciones = variaciones sin repetición \(\div\) \(r!\) (se eliminan los órdenes).
- Permutaciones = variaciones sin repetición con \(r = n\).
- Variaciones con repetición = el caso más general.
En caso de duda, empieza preguntándote si el orden importa y si se permite la repetición. Esas dos respuestas apuntan directamente a la fórmula correcta.
