Unión de eventos

La unión de dos eventos \(A \cup B\) es el evento de que ocurra al menos uno de ellos. Es el fundamento de la regla de la adición en probabilidad y aparece en cualquier situación donde se quiere saber la probabilidad de que ocurra una cosa u otra.

Definición

Sean \(A\) y \(B\) dos eventos definidos sobre el mismo espacio muestral \(\Omega\). La unión \(A \cup B\) es el evento de que ocurra al menos uno de \(A\) o \(B\):

El “o” en probabilidad es siempre inclusivo: \(A \cup B\) incluye los resultados solo en \(A\), solo en \(B\) y en ambos.

Probabilidad de la unión

La probabilidad de \(A \cup B\) viene dada por la regla de la adición:

La resta de \(P(A \cap B)\) corrige el doble conteo: los resultados que están en \(A\) y en \(B\) se incluyen en \(P(A)\) y de nuevo en \(P(B)\), por lo que deben restarse una vez.

Caso especial: eventos mutuamente excluyentes

Cuando \(A\) y \(B\) no pueden ocurrir los dos (\(A \cap B = \emptyset\), por lo que \(P(A \cap B) = 0\)):

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

Esta simplificación solo es válida cuando los eventos verdaderamente no pueden solaparse.

Unión de tres o más eventos

Para tres eventos, el principio de inclusión-exclusión da:

\[P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)\]

El patrón alterna: se suman las probabilidades individuales, se restan las intersecciones dos a dos, se suman las intersecciones de tres en tres, y así sucesivamente.

Para \(n\) eventos la fórmula general es:

\[P\!\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_i P(A_i) - \sum_{i<j} P(A_i \cap A_j) + \sum_{i<j<k} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \cdots\]

Ejemplos paso a paso

Ejemplo 1: campaña de email marketing

En una campaña de correo electrónico enviada a 1.000 suscriptores: - El 35% abrió el correo: \(P(A) = 0{,}35\) - El 20% hizo clic en un enlace: \(P(C) = 0{,}20\) - El 12% abrió el correo y también hizo clic: \(P(A \cap C) = 0{,}12\)

¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor haya abierto el correo o hecho clic en un enlace (o ambas cosas)?

\[P(A \cup C) = 0{,}35 + 0{,}20 - 0{,}12 = 0{,}43\]

El 43% de los suscriptores realizó al menos una acción.

Verificación con recuentos

De 1.000 suscriptores:

• 350 abrieron el correo, 200 hicieron clic, 120 hicieron ambas cosas.
• Solo abrieron: \(350 - 120 = 230\).
• Solo hicieron clic: \(200 - 120 = 80\).
• Una u otra acción (o ambas): \(230 + 80 + 120 = 430\), es decir, \(430/1000 = 0{,}43\). ✓

Hacer una tabla o pensar en recuentos es siempre una buena forma de verificar un cálculo de unión.

Ejemplo 2: fiabilidad de un sistema

Un sistema de respaldo tiene dos componentes independientes. El componente A falla con probabilidad 0,05 y el componente B falla con probabilidad 0,08. El sistema falla si falla al menos un componente.

Como los componentes son independientes: \(P(A \cap B) = 0{,}05 \times 0{,}08 = 0{,}004\)

\[P(\text{falla el sistema}) = P(A \cup B) = 0{,}05 + 0{,}08 - 0{,}004 = 0{,}126\]

Aproximadamente un 12,6% de probabilidad de fallo del sistema. Si hubiésemos omitido incorrectamente la intersección, habríamos estimado un 13%: una sobreestimación pequeña pero sistemática.

Ejemplo 3: tres eventos con inclusión-exclusión

Una auditoría de software detecta que entre 200 proyectos:

• 80 tienen problemas de seguridad (\(A\)): \(P(A) = 0{,}40\)
• 70 tienen problemas de rendimiento (\(B\)): \(P(B) = 0{,}35\)
• 50 tienen problemas de documentación (\(C\)): \(P(C) = 0{,}25\)
• 30 tienen tanto \(A\) como \(B\): \(P(A \cap B) = 0{,}15\)
• 20 tienen tanto \(A\) como \(C\): \(P(A \cap C) = 0{,}10\)
• 15 tienen tanto \(B\) como \(C\): \(P(B \cap C) = 0{,}075\)
• 10 tienen los tres: \(P(A \cap B \cap C) = 0{,}05\)

\[P(A \cup B \cup C) = 0{,}40 + 0{,}35 + 0{,}25 - 0{,}15 - 0{,}10 - 0{,}075 + 0{,}05 = 0{,}725\]

El 72,5% de los proyectos tiene al menos un tipo de problema.