Intersección de eventos
La intersección \(A \cap B\) es el evento de que tanto \(A\) como \(B\) ocurran simultáneamente. Es el fundamento de la probabilidad conjunta, la regla de la multiplicación y la probabilidad condicionada.
Definición
Sean \(A\) y \(B\) dos eventos definidos sobre el mismo espacio muestral \(\Omega\). La intersección \(A \cap B\) es el evento de que ocurran tanto \(A\) como \(B\):
\[A \cap B = \{\omega \in \Omega : \omega \in A \text{ y } \omega \in B\}\]
La intersección contiene únicamente los resultados que pertenecen a ambos eventos simultáneamente. Si ningún resultado satisface esta condición, \(A \cap B = \emptyset\) y los eventos son mutuamente excluyentes.
Probabilidad de la intersección
La forma de calcular \(P(A \cap B)\) depende de si los eventos son independientes o dependientes.
Eventos independientes
Cuando \(A\) y \(B\) son independientes (saber que ocurrió \(A\) no aporta información sobre \(B\)):
\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]
Eventos dependientes
Cuando \(A\) y \(B\) son dependientes, se usa la regla de la multiplicación:
\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A) = P(B) \times P(A \mid B)\]
donde \(P(B \mid A)\) es la probabilidad condicionada de \(B\) dado que \(A\) ya ha ocurrido.
⚠️ No asumas independencia sin justificación
Asumir independencia cuando los eventos son en realidad dependientes lleva a errores sistemáticos. Dos componentes del mismo lote de producción tienen más probabilidad de ser ambos defectuosos (fallo por causa común) que dos componentes de lotes distintos. Dos activos financieros del mismo sector tienden a caer juntos en una crisis. Antes de multiplicar probabilidades, pregúntate: ¿saber que ocurrió un evento cambia la probabilidad del otro? Si la respuesta es sí, usa la fórmula condicional.
Regla de la cadena para múltiples eventos
Para tres o más eventos, la regla de la multiplicación se extiende en cadena:
Para eventos independientes \(A_1, A_2, \ldots, A_n\):
\[P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1) \times P(A_2) \times \cdots \times P(A_n)\]
Para eventos dependientes (regla de la cadena general):
\[P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1) \times P(A_2 \mid A_1) \times P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \times \cdots\]
Cada factor condiciona a todos los eventos anteriores.
Ejemplos paso a paso
Ejemplo 1: eventos independientes - disponibilidad del sistema
Una aplicación web depende de tres servicios independientes: una base de datos (\(B\)), una caché (\(C\)) y una pasarela API (\(G\)). Sus tasas de disponibilidad individuales son:
\[P(B) = 0{,}99, \quad P(C) = 0{,}995, \quad P(G) = 0{,}998\]
Probabilidad de que los tres estén disponibles simultáneamente:
\[P(B \cap C \cap G) = 0{,}99 \times 0{,}995 \times 0{,}998 \approx 0{,}983\]
A pesar de que cada servicio individual tiene una alta disponibilidad, el sistema combinado solo está disponible el 98,3% del tiempo. Añadir más componentes siempre reduce la disponibilidad conjunta.
Ejemplo 2: eventos dependientes - control de calidad por muestreo
Un lote contiene 20 artículos, 3 de los cuales son defectuosos. Se extraen dos artículos sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean defectuosos?
Sea \(A\) = el primer artículo es defectuoso, \(B\) = el segundo artículo es defectuoso.
\[P(A) = \frac{3}{20}\]
Dado que \(A\) ocurrió (se retiró un defectuoso), quedan 2 defectuosos entre 19 artículos:
\[P(B \mid A) = \frac{2}{19}\]
\[P(A \cap B) = \frac{3}{20} \times \frac{2}{19} = \frac{6}{380} \approx 0{,}0158\]
Si hubiésemos asumido erróneamente independencia: \(P(A) \times P(B) = (3/20)^2 = 0{,}0225\), una sobreestimación del 42%.
Una baraja estándar tiene 52 cartas, 13 de las cuales son corazones. Se extraen tres cartas sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean corazones?
\[P(\text{1.ª corazón}) = \frac{13}{52}\]
\[P(\text{2.º corazón} \mid \text{1.º corazón}) = \frac{12}{51}\]
\[P(\text{3.er corazón} \mid \text{primeros dos corazones}) = \frac{11}{50}\]
\[P(\text{tres corazones}) = \frac{13}{52} \times \frac{12}{51} \times \frac{11}{50} = \frac{1716}{132600} \approx 0{,}0129\]
Aproximadamente un 1,3% de probabilidad. La regla de la cadena gestiona de forma natural las probabilidades cambiantes tras cada extracción.
Ejemplo 3: eventos dependientes - selección secuencial
Un proceso de selección tiene dos rondas. Según los datos históricos: - El 40% de los candidatos supera la primera ronda: \(P(R_1) = 0{,}40\) - De los que superan la primera, el 60% supera la segunda: \(P(R_2 \mid R_1) = 0{,}60\)
Probabilidad de superar ambas rondas:
\[P(R_1 \cap R_2) = 0{,}40 \times 0{,}60 = 0{,}24\]
Solo el 24% de todos los candidatos pasa las dos rondas.
💡 Intersección vs unión: qué fórmula usar
- “Tanto \(A\) como \(B\)” → intersección: \(P(A \cap B)\).
- “Al menos uno de \(A\) o \(B\)” → unión: \(P(A \cup B)\).
- Si los eventos son independientes, multiplica: \(P(A) \times P(B)\).
- Si los eventos son dependientes, usa la fórmula condicional: \(P(A) \times P(B \mid A)\).
- Para comprobar la independencia formalmente: verifica que \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\). Si no son iguales, los eventos son dependientes.
