Eventos incompatibles (disjuntos)
Dos eventos son incompatibles (o disjuntos) cuando no pueden ocurrir ambos en el mismo ensayo. Su intersección es vacía y sus probabilidades se suman directamente. Es el caso más sencillo de la regla de la adición y aparece de forma natural cuando los resultados se agrupan en categorías no solapadas.
Definición
Los eventos \(A\) y \(B\) son incompatibles (también llamados mutuamente excluyentes o disjuntos) si no comparten ningún resultado:
\[A \cap B = \emptyset \quad \Longleftrightarrow \quad P(A \cap B) = 0\]
Cuando \(A\) y \(B\) son disjuntos, la regla de la adición se simplifica a:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]
Para cualquier colección de eventos mutuamente disjuntos \(A_1, A_2, \ldots, A_n\):
\[P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n)\]
Esta es la propiedad de aditividad contable, uno de los tres axiomas de Kolmogorov de la probabilidad.
Ejemplos
Ejemplo 1: clasificación de pedidos
Una plataforma de comercio electrónico clasifica cada pedido en exactamente una categoría de estado:
- \(A\) = pedido entregado a tiempo
- \(B\) = pedido con retraso
- \(C\) = pedido cancelado
Estos tres eventos son disjuntos dos a dos: un pedido no puede estar en dos categorías simultáneamente. Si \(P(A) = 0{,}78\), \(P(B) = 0{,}15\) y \(P(C) = 0{,}07\):
\[P(A \cup B \cup C) = 0{,}78 + 0{,}15 + 0{,}07 = 1{,}00\]
También son exhaustivos: cada pedido cae en exactamente una categoría. En conjunto forman una partición del espacio muestral.
\[P(\text{no entregado a tiempo}) = P(B \cup C) = P(B) + P(C) = 0{,}15 + 0{,}07 = 0{,}22\]
Ejemplo 2: tipos de reclamaciones de seguros
Una compañía de seguros modela las reclamaciones por tipo. Una reclamación se clasifica como:
- \(A\) = solo daños materiales: \(P(A) = 0{,}45\)
- \(B\) = solo daños personales: \(P(B) = 0{,}30\)
- \(C\) = daños materiales y personales: \(P(C) = 0{,}25\)
Aquí \(A\) y \(B\) son disjuntos (una reclamación en la categoría \(A\) es exclusivamente material, sin lesiones). Pero \(A\) y \(C\) no son disjuntos: ambos implican daños materiales.
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}45 + 0{,}30 = 0{,}75\]
\[P(\text{implica daños materiales}) = P(A) + P(C) = 0{,}45 + 0{,}25 = 0{,}70\]
El segundo cálculo usa la adición sin corrección por solapamiento porque \(A\) y \(C\) están definidos como mutuamente excluyentes en este sistema de clasificación.
Ejemplo 3: categorías de defecto en fabricación
La inspección de componentes clasifica cada artículo defectuoso en exactamente un tipo de defecto:
- \(D_1\) = error dimensional: \(P(D_1) = 0{,}06\)
- \(D_2\) = defecto superficial: \(P(D_2) = 0{,}03\)
- \(D_3\) = fallo del material: \(P(D_3) = 0{,}01\)
Estos están definidos como mutuamente excluyentes (cada artículo se asigna a su tipo de defecto principal). La tasa de defectos total es:
\[P(\text{defectuoso}) = P(D_1) + P(D_2) + P(D_3) = 0{,}06 + 0{,}03 + 0{,}01 = 0{,}10\]
El 10% de los componentes tiene al menos un defecto. La adición funciona directamente porque las categorías son disjuntas por construcción.
El servicio de urgencias de un hospital registra los niveles de triaje: Crítico (5%), Urgente (25%), Semiurgente (40%), No urgente (30%). Son disjuntos y exhaustivos.
Probabilidad de que un paciente necesite atención inmediata (Crítico o Urgente):
\[P(\text{inmediata}) = P(\text{Crítico}) + P(\text{Urgente}) = 0{,}05 + 0{,}25 = 0{,}30\]
Probabilidad de que un paciente no necesite atención inmediata:
\[P(\text{no inmediata}) = 1 - 0{,}30 = 0{,}70\]
O directamente: \(0{,}40 + 0{,}30 = 0{,}70\). Ambas formas dan el mismo resultado porque las cuatro categorías particionan el espacio.
Disjuntos vs independientes: una distinción fundamental
⚠️ Los eventos disjuntos con probabilidad positiva nunca son independientes
Esta es una de las confusiones más frecuentes en probabilidad. Si \(A\) y \(B\) son disjuntos y ambos tienen probabilidad positiva:
\[P(A \cap B) = 0 \neq P(A) \cdot P(B) > 0\]
Por tanto no pueden ser independientes. La razón es intuitiva: si \(A\) y \(B\) no pueden ocurrir los dos, saber que \(A\) ocurrió te indica de inmediato que \(B\) no ocurrió. Eso es lo contrario de la independencia.
Ejemplos de eventos disjuntos que NO son independientes:
- Una máquina produce exactamente un artículo por ciclo, clasificado como bueno o defectuoso. “Bueno” y “defectuoso” son disjuntos; conocer uno excluye completamente al otro.
- Un paciente se asigna al tratamiento A o al tratamiento B (no a ambos). Las dos asignaciones son disjuntas; dan la máxima información el uno sobre el otro.
La única forma en que los eventos disjuntos pueden ser independientes es que al menos uno tenga probabilidad cero, lo que convierte la independencia en un caso degenerado.
El contraste:
- Disjuntos: \(A\) y \(B\) no pueden ocurrir los dos. \(P(A \cap B) = 0\). Saber que ocurrió uno te dice que el otro no ocurrió.
- Independientes: \(A\) y \(B\) no se influyen mutuamente. \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). Saber que ocurrió uno no te dice nada sobre el otro.
💡 Cuándo aplicar la regla de la adición simplificada
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) solo es válida cuando \(A\) y \(B\) son disjuntos. Antes de usarla, verifica que los eventos realmente no pueden solaparse. Estructuras disjuntas habituales:
- Sistemas de clasificación donde cada resultado cae en exactamente una categoría.
- Causas competitivas de fallo donde un componente puede fallar por una sola razón a la vez.
- Particiones exhaustivas de una población o espacio muestral.
Si existe alguna posibilidad de solapamiento, usa la fórmula completa: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).
