Combinaciones
Una combinación cuenta el número de formas de elegir \(r\) elementos de un conjunto de \(n\) cuando el orden de selección no importa. Es la herramienta de recuento fundamental en probabilidad, y se usa siempre que sea necesario contar subconjuntos, grupos o selecciones no ordenadas.
Definición
El número de formas de elegir \(r\) elementos de \(n\) elementos distintos, sin repetición y sin tener en cuenta el orden, es el coeficiente binomial:
\[\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}\]
También se escribe \(C(n,r)\) o \(C_n^r\). Aquí \(n!\) (n factorial) es el producto de todos los enteros positivos hasta \(n\): \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\), con \(0! = 1\) por convenio.
¿De cuántas formas se puede formar un comité de 5 personas en un departamento de 12 empleados?
\[\binom{12}{5} = \frac{12!}{5!\,7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95040}{120} = 792\]
Hay 792 comités posibles. El orden en que se eligen los miembros no importa: {Alicia, Berto, Carmen, Dani, Eva} es el mismo comité independientemente del orden de selección.
Combinaciones vs permutaciones
La pregunta clave siempre es: ¿importa el orden?
- El orden no importa: usa combinaciones. Formar un equipo, elegir un subconjunto, repartir una mano de cartas.
- El orden importa: usa permutaciones. Clasificar candidatos, asignar roles, ordenar objetos en una secuencia.
La relación entre ambas:
\[P(n,r) = \binom{n}{r} \times r!\]
Cada combinación de \(r\) elementos puede ordenarse de \(r!\) formas distintas, dando el número de permutaciones. Dividir por \(r!\) elimina el orden y da el recuento de combinaciones.
⚠️ El error más frecuente: usar permutaciones cuando el orden no importa
Si se eligen 3 personas de 10 para formar un comité, la respuesta es \(\binom{10}{3} = 120\), no \(P(10,3) = 720\). Usar permutaciones sobreestima por un factor de \(3! = 6\) porque cuenta {A,B,C}, {A,C,B}, {B,A,C}, {B,C,A}, {C,A,B}, {C,B,A} como seis resultados diferentes cuando todos son el mismo comité.
Antes de calcular, pregúntate: si intercambio el orden de los elementos seleccionados, ¿obtengo un resultado diferente? Si no, usa combinaciones.
Propiedades
- Simetría
\[\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}\]
Elegir \(r\) elementos para incluir equivale a elegir \(n-r\) elementos para excluir. Por ejemplo, \(\binom{10}{3} = \binom{10}{7} = 120\). Usa el menor de \(r\) y \(n-r\) en los cálculos para minimizar la aritmética.
- Valores en la frontera
\[\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\]
Hay exactamente una forma de no elegir nada, y exactamente una forma de elegirlo todo.
- Identidad de Pascal
\[\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}\]
Cada combinación o incluye un elemento específico (los \(r-1\) restantes elegidos de \(n-1\)) o lo excluye (los \(r\) elegidos de \(n-1\)). Esta identidad genera el triángulo de Pascal, donde cada entrada es la suma de las dos entradas superiores.
- Suma de todas las combinaciones
\[\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n\]
El número total de subconjuntos de un conjunto con \(n\) elementos es \(2^n\). Cada elemento puede incluirse o excluirse, dando 2 opciones por elemento.
Ejemplos
Muestreo para control de calidad
Se recibe un lote de 50 componentes, 6 de los cuales son defectuosos. Un ingeniero de calidad extrae 8 componentes al azar. ¿Cuántas muestras posibles contienen exactamente 2 artículos defectuosos?
Elegir 2 defectuosos de 6 y 6 buenos de 44:
\[\binom{6}{2} \times \binom{44}{6} = 15 \times 7{.}059{.}052 = 105{.}885{.}780\]
Total de muestras posibles de tamaño 8:
\[\binom{50}{8} = 536{.}878{.}650\]
Probabilidad de exactamente 2 defectuosos en la muestra:
\[P(X=2) = \frac{105{.}885{.}780}{536{.}878{.}650} \approx 0{,}197\]
Aproximadamente el 20%. Esta es la distribución hipergeométrica en acción.
Ensayo clínico: asignación de tratamiento
Un ensayo incorpora a 20 pacientes y asigna aleatoriamente 8 al grupo de tratamiento (el resto recibe placebo). ¿Cuántos grupos de tratamiento distintos son posibles?
\[\binom{20}{8} = \frac{20!}{8!\,12!} = 125{.}970\]
Cada una de estas 125.970 asignaciones es igualmente probable con una aleatorización correcta. La probabilidad de que un conjunto específico de 8 pacientes acabe en el grupo de tratamiento es \(1/125{.}970\).
Selección de cartera de inversión
Un gestor de fondos debe seleccionar 5 acciones de una lista de 18. ¿Cuántas carteras distintas son posibles?
\[\binom{18}{5} = \frac{18!}{5!\,13!} = 8{.}568\]
Si 3 de las 18 acciones son empresas tecnológicas y el gestor quiere al menos 2 empresas tecnológicas en la cartera:
- Exactamente 2 tecnológicas: \(\binom{3}{2} \times \binom{15}{3} = 3 \times 455 = 1{.}365\)
- Exactamente 3 tecnológicas: \(\binom{3}{3} \times \binom{15}{2} = 1 \times 105 = 105\)
\[P(\text{al menos 2 tecnológicas}) = \frac{1{.}365 + 105}{8{.}568} \approx 0{,}172\]
💡 Cuándo usar combinaciones
Usa \(\binom{n}{r}\) cuando:
- Estés eligiendo un subconjunto, grupo, comité o mano de cartas.
- Los elementos seleccionados no tienen roles ni posiciones asignadas.
- Intercambiar dos elementos seleccionados da el mismo resultado.
Usa permutaciones cuando los elementos seleccionados tienen roles distintos (primer lugar, segundo lugar) o cuando el orden importa (contraseñas, secuencias, clasificaciones).
Una prueba rápida: enumera dos ordenaciones de tu selección. Si representan el mismo resultado, usa combinaciones.
