Distribución uniforme continua
La distribución uniforme continua asigna igual densidad de probabilidad a todos los valores de un intervalo \((a, b)\). Es la distribución continua más sencilla y el modelo matemático para “elige un número aleatorio entre \(a\) y \(b\)”.
Definición
Una variable aleatoria \(X\) sigue una distribución uniforme continua en el intervalo \((a, b)\), escrita \(X \sim U(a, b)\), si su función de densidad de probabilidad (PDF) es:
\[f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & \text{si } x \in (a, b) \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}\]
La densidad es constante sobre el intervalo: ningún valor es más probable que otro. La altura del rectángulo es \(1/(b-a)\), elegida para que el área total sea 1.
⚠️ La PDF puede ser mayor que 1
Para una distribución \(U(0; 0{,}1)\), \(f(x) = 1/0{,}1 = 10\) en todo el intervalo. Esto es válido: \(f(x)\) es una densidad, no una probabilidad, y las densidades no tienen cota superior. La probabilidad de cualquier intervalo es el área bajo la curva, no la altura. La restricción es \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1\), no \(f(x) \leq 1\).
Función de distribución acumulada
La CDF crece linealmente de 0 a 1 a lo largo del intervalo:
\[F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < a \\ \dfrac{x-a}{b-a} & \text{si } a \leq x \leq b \\ 1 & \text{si } x > b \end{cases}\]
La probabilidad de caer en cualquier subintervalo \([c, d] \subseteq [a, b]\) es simplemente proporcional a su longitud:
\[P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}\]
Propiedades
Para \(X \sim U(a, b)\):
- Valor esperado (media)
\[E(X) = \frac{a + b}{2}\]
La media es el punto medio del intervalo. Como la distribución es simétrica, media y mediana coinciden.
- Varianza
\[\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\]
La varianza crece con el cuadrado de la amplitud del intervalo: doblar el rango cuadruplica la varianza.
- Asimetría
Siempre 0. La distribución es perfectamente simétrica alrededor de su media.
- Curtosis
\[g_2 = -\frac{6}{5} = -1{,}2\]
Platicúrtica: más plana que la distribución normal y con colas más ligeras.
- Moda
Cualquier valor de \((a, b)\) es una moda: la densidad es constante, por lo que ningún valor individual es más probable que otro.
- Función cuantil
\[Q(p) = a + p(b - a)\]
Una interpolación lineal entre \(a\) y \(b\). La mediana es \(Q(0{,}5) = (a+b)/2\).
Ejemplo paso a paso
Un servicio de reparto garantiza la entrega en una ventana de 2 horas. El tiempo de llegada real \(X\) se distribuye uniformemente, \(X \sim U(0, 120)\) minutos.
Probabilidad de llegar en los primeros 30 minutos:
\[P(X \leq 30) = F(30) = \frac{30 - 0}{120 - 0} = 0{,}25\]
Probabilidad de llegar entre los 45 y los 90 minutos:
\[P(45 \leq X \leq 90) = \frac{90 - 45}{120} = \frac{45}{120} = 0{,}375\]
Tiempo de llegada esperado:
\[E(X) = \frac{0 + 120}{2} = 60 \text{ minutos}\]
Varianza y desviación típica:
\[\text{Var}(X) = \frac{120^2}{12} = 1200, \qquad \text{SD}(X) = \sqrt{1200} \approx 34{,}6 \text{ minutos}\]
- Error de redondeo: cuando una medición se redondea al entero más cercano, el error de redondeo es \(U(-0{,}5;\, 0{,}5)\). Error esperado: 0. Varianza: \(1/12 \approx 0{,}083\).
- Generación de números aleatorios: los generadores de números aleatorios de los ordenadores producen valores \(U(0, 1)\) que luego se transforman a cualquier otra distribución.
- Tiempo de espera del autobús: si los autobuses pasan cada 10 minutos y llegas en un momento aleatorio, tu tiempo de espera es \(U(0, 10)\). Espera media: 5 minutos.
El método de la transformada inversa
La distribución \(U(0, 1)\) es el fundamento de la simulación. El método de la transformada inversa establece: si \(U \sim U(0, 1)\), entonces \(X = F^{-1}(U)\) sigue cualquier distribución con CDF \(F\).
Para la uniforme en \((a, b)\): \(X = a + U(b - a)\). Para una exponencial con tasa \(\lambda\): \(X = -\ln(U)/\lambda\). Así es como la mayoría del software estadístico genera números aleatorios de cualquier distribución.
💡 Relación con otras distribuciones
- Uniforme discreta: la uniforme continua es su análogo continuo. Ambas asignan igual probabilidad a todos los resultados.
- Distribución beta: \(U(0,1)\) es un caso especial de \(\text{Beta}(1, 1)\).
- Estadísticos de orden: el \(k\)-ésimo estadístico de orden de \(n\) variables \(U(0,1)\) independientes sigue una distribución \(\text{Beta}(k,\, n-k+1)\).
- Simulación: todo generador de números aleatorios parte de \(U(0,1)\) y lo transforma a la distribución objetivo mediante la función cuantil.
