Distribución exponencial
La distribución exponencial modela el tiempo de espera entre eventos en un proceso de Poisson. Es el análogo continuo de la distribución geométrica y la única distribución continua con la propiedad de pérdida de memoria.
Definición
Una variable aleatoria \(X\) sigue una distribución exponencial con parámetro de tasa \(\lambda > 0\), escrita \(X \sim \text{Exp}(\lambda)\), si su función de densidad de probabilidad es:
\[f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0\]
El parámetro \(\lambda\) es la tasa: el número medio de eventos por unidad de tiempo. El tiempo medio de espera entre eventos es \(1/\lambda\).
⚠️ Parametrización por tasa vs por media
La distribución exponencial se parametriza de dos formas distintas según la fuente:
- Parametrización por tasa (\(\lambda\)): \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\). Media \(= 1/\lambda\). Usada por la mayoría de libros de probabilidad y por
dexp(x, rate = lambda)en R. - Parametrización por media (\(\theta = 1/\lambda\)): \(f(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}\). Media \(= \theta\). Habitual en ingeniería de fiabilidad y algunos libros de ingeniería.
Comprueba siempre qué convención usa tu fuente. Si un problema dice “el tiempo medio entre fallos es 5 horas”, entonces \(\theta = 5\) y \(\lambda = 0{,}2\).
Función de densidad de probabilidad y CDF
La CDF tiene una forma cerrada sencilla:
\[F(x) = P(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0\]
La función de supervivencia (probabilidad de sobrevivir más allá de \(x\)) es simplemente:
\[P(X > x) = e^{-\lambda x}\]
Propiedades
Para \(X \sim \text{Exp}(\lambda)\):
- Valor esperado (media)
\[E(X) = \frac{1}{\lambda}\]
- Varianza
\[\text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}\]
Nótese que \(\text{SD}(X) = 1/\lambda = E(X)\): la desviación típica es igual a la media. Esta es una propiedad característica de la distribución exponencial.
- Asimetría
Siempre 2: la exponencial siempre está sesgada a la derecha, independientemente de \(\lambda\).
- Curtosis
\[g_2 = 6\]
Fuertemente leptocúrtica: la distribución exponencial tiene colas mucho más pesadas que la normal.
- Moda
Siempre 0: el valor más probable está en el origen.
- Función cuantil
\[Q(p) = -\frac{1}{\lambda}\ln(1-p)\]
La mediana es \(Q(0{,}5) = \ln(2)/\lambda \approx 0{,}693/\lambda\), menor que la media \(1/\lambda\). La distribución está sesgada a la derecha, por lo que la mediana siempre está por debajo de la media.
La propiedad de pérdida de memoria
La distribución exponencial es la única distribución continua con la propiedad de pérdida de memoria:
\[P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)\]
Si ya has esperado \(s\) unidades de tiempo sin que ocurra ningún evento, la probabilidad de esperar \(t\) unidades más es exactamente la misma que si acabaras de empezar a esperar. El tiempo de espera pasado no aporta ninguna información sobre el futuro.
Un servidor lleva 3 años en funcionamiento sin fallos. Su tiempo de vida sigue \(\text{Exp}(\lambda)\). ¿Cuál es la probabilidad de que funcione al menos 2 años más?
Por la propiedad de pérdida de memoria, es exactamente \(P(X > 2) = e^{-2\lambda}\), la misma probabilidad que calcularías si el servidor acabara de encenderse. Los 3 años de funcionamiento sin problemas son completamente irrelevantes.
⚠️ Cuándo no se cumple la pérdida de memoria
La distribución exponencial asume una tasa de fallo constante: un componente tiene la misma probabilidad de fallar en cualquier instante dado, independientemente de su antigüedad. Esto es realista para componentes electrónicos sujetos a perturbaciones externas aleatorias, pero no para componentes mecánicos que se desgastan con el tiempo. Para componentes que envejecen, la distribución de Weibull es más apropiada: permite que la tasa de fallo aumente (o disminuya) con la edad.
Ejemplo paso a paso
Los servidores de un centro de datos fallan de media una vez cada 200 días (\(\lambda = 1/200\)). Sea \(X\) = días hasta el próximo fallo, \(X \sim \text{Exp}(1/200)\).
Probabilidad de que funcione más de 100 días:
\[P(X > 100) = e^{-100/200} = e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065\]
Aproximadamente el 61% de los servidores funcionan más de 100 días sin fallos.
Probabilidad de fallar en los primeros 50 días:
\[F(50) = 1 - e^{-50/200} = 1 - e^{-0{,}25} \approx 0{,}2212\]
Aproximadamente el 22% de los servidores fallan en los primeros 50 días.
Tiempo mediano hasta el fallo:
\[Q(0{,}5) = -200\ln(0{,}5) = 200\ln(2) \approx 138{,}6 \text{ días}\]
La mitad de los servidores fallan antes de los 138,6 días, aunque la media sea 200 días. La asimetría a la derecha hace que la media sea arrastrada hacia arriba por los servidores que duran mucho tiempo.
Centro de llamadas: las llamadas llegan a una tasa de 5 por minuto (\(\lambda = 5\)). Tiempo entre llamadas: \(\text{Exp}(5)\). Espera media: \(1/5 = 0{,}2\) minutos = 12 segundos.
Desintegración radiactiva: un átomo radiactivo se desintegra con tasa \(\lambda = 0{,}001\) por año. Probabilidad de sobrevivir 500 años: \(e^{-0{,}5} \approx 0{,}607\).
Atención al cliente: la duración media de una llamada es 8 minutos (\(\theta = 8\), \(\lambda = 1/8\)). Probabilidad de que una llamada dure más de 15 minutos: \(e^{-15/8} \approx 0{,}153\).
Conexión con la distribución de Poisson
Las distribuciones exponencial y de Poisson son dos caras del mismo modelo. Si los eventos siguen un proceso de Poisson con tasa \(\lambda\):
- El número de eventos en un intervalo fijo de longitud \(t\) sigue \(\text{Poisson}(\lambda t)\).
- El tiempo de espera entre eventos consecutivos sigue \(\text{Exp}(\lambda)\).
Esta conexión significa que si conoces \(\lambda\) para un modelo de recuento de Poisson, conoces automáticamente la distribución de los tiempos entre eventos, y viceversa.
💡 Relación con otras distribuciones
- Geométrica: el análogo discreto. Ambas son sin memoria, una para recuentos de ensayos, la otra para tiempo continuo.
- Poisson: si los tiempos entre llegadas siguen \(\text{Exp}(\lambda)\), las llegadas siguen un proceso \(\text{Poisson}(\lambda)\).
- Gamma: la suma de \(k\) variables \(\text{Exp}(\lambda)\) independientes sigue \(\text{Gamma}(k, \lambda)\).
- Weibull: generalización de la exponencial que permite tasas de fallo no constantes. \(\text{Exp}(\lambda) = \text{Weibull}(1, \lambda)\).
